曲率ベジェ：曲線編集のよりスマートな方法

ベジェ曲線は1960年代からCADやコンピュータグラフィックスの定番となっている。シンプルでよく理解され、イラストツールからフォントレンダリングまで、どこにでも存在する。しかし、レガシー技術として、特に編集に関しては既知の欠点がある。接線ハンドル付きの標準的なペンツールは、記事が言うように「どこにでもある嘘」なのだ。

核心的な問題：滑らかな曲線を作るために左右対称の接線を使う一般的な方法は、根本的に欠陥がある。ベジェ曲線を分割すると、2つの半分は幾何学的に元の曲線と同一であるにもかかわらず、継ぎ目の接線は特別な場合を除いて非対称になる。つまり、接線ハンドルの長さは実際の滑らかさとは無関係であり、重要なのは高次の性質である曲率なのだ。

この記事の重要な洞察は、セグメントの始点での曲率は最初の3つの制御点にのみ依存し、具体的には最初の接線の長さと、その接線から3番目の点の垂直距離に依存するということだ。これは単純なルールにつながる：編集時に曲率を維持するには、点を移動するだけでなく、接線を適切にスケーリングする必要がある。

しかし、接線を比例的にスケーリングしても曲率の連続性は保証されない。より良い解決策は、曲率ハンドルを直接扱うことだ。これらのハンドルは曲率半径（曲率の逆数）を表し、ジャストインタイムで古典的なベジェ制御点に変換できるため、数値ドリフトを回避できる。

所望の曲率に対する接線の長さを解く数学は二次システムに還元され、これは二重放物線の交点を見つけることで解ける。これには四次方程式を解く必要があるが、扱いやすく安定している。

結果として、曲線が意図を尊重する編集体験が得られる：曲線点を移動すると曲率が維持され、接線ハンドルを回すと曲率が予測可能に調整され、曲線がジャンプしたり爆発したりしない。