スター・フリート・マス：実際に未解決数学問題を解くAIシステム

スター・フリート・マスは、Lean 4を用いて世界で最も難しい未解決数学問題に取り組む新しいAIシステムだ。これはMacデスクトップアプリで、最大20の並列エージェントハーネス（「スターシップ」と呼ばれる）を統括し、それぞれが60vCPUサーバー上で専用のGPT-5.6インスタンスを実行する。システム全体はTypeScriptとBunでゼロから構築されている。

各スターシップは強力な装備を備えている：シャーディング探索用の最大2,000vCPUのCPUバースト、超並列探索用のH100 GPUバースト、Gemini埋め込みとChromaベクトルDBで検索可能なLean 4前提条件の大規模コーパス、arXivとGitHubのFirecrawlインデックス、Claude Fableを使用した証明検証エージェントハーネス、そして検証済み定理の依存関係グラフを構築するTon 618と呼ばれるローカル長期記憶システム。サンドボックスにはSAT/SMTソルバー（CaDiCaL、kissat、Z3）、GoogleのCP-SAT、数式処理システム（SageMath、PARI/GP、GAP、Macaulay2）、そして完全なRust、CUDA C++、Lean 4ツールチェーンがプリロードされている。

スター・フリートはすでにエルデシュ問題#123（賞金250ドルの数論問題）に対する解法を提案している。問題は：互いに素な整数a,b,c≥1について、すべての大きな整数はa^k b^l c^m（k,l,m≥0）の形の異なる数の和で表せるか、ただし選択された項が互いに割り切らないという追加条件がある。

核心的な難しさと突破口

割り切れる条件がこの問題を難しくしている。通常の完全性の議論は、異なるスケールの項が割り切れる関係で比較されやすいため破綻し、一方で割り切れない反鎖は連続する整数を埋めるにはまばらすぎる。以前の研究では補正と帰納法を用いた還元スキームが開発されていたが、頑固な有限シード問題が残っていた：まず乗法的に広い区間[N, CN]内のすべての整数を表現する必要があり、帰納法はその区間を伝播するだけで、構築はしない。

鍵となる洞察は、単一の同次指数レベル（i+j+k = D）で作業することだった。同じレベルでは、異なる単項式が互いに割り切ることは決してないため、すべての部分集合は自動的に原始的になる。これにより問題は部分集合和に関する加法的な問題に変わり、すべての要素が同じ次数に留まる限り、原始性は自動的に保証される。チームは次にエッジコード構成を用いて、c^nを法として異なる剰余を持ち、桁上がりが制限されたc^n個の原始的部分集合和を取得し、その後有限ファン・デル・ウェルデン（Mathlibのヘイルズ＝ジューエット定理から）を適用して、原始的同次部分集合和の任意に長い正確な等差数列を得た。

真の突破口は、同じ同次レベル上の未使用の単項式（「オプションの内部シェル」）を活用して、一つの等差数列を大きな格子区間に変換し、その後面補正で剰余を埋めることから生まれた。最終結果：すべての互いに素な三つ組a,b,c>1について、十分に大きなすべての整数は、選択された項が互いに割り切らないという条件のもとで、異なる項a^i b^j c^kの和で表せる。この定理はLean 4でErdos123.erdos_123 : Erdos123.IntendedStatementとして形式化されている。

スター・フリートは現在、27のエルデシュ問題、630のフロンティア数学問題、14のミレニアム問題に取り組んでいる。このシステムのアーキテクチャ——大規模並列計算、Lean 4による形式検証、そして成長する証明済み定理の依存関係グラフの組み合わせ——は、AI支援数学が大規模にどのように機能するかを垣間見せている。