Eigendrum: 描いた任意の形状の固有モードを聞く

Eigendrumは、描いた任意の形状（またはパラメトリック方程式で記述した形状）を仮想的なドラムに変えるブラウザベースのツールです。ドラムヘッドの振動の固有値問題を数値的に解き、任意の幾何学形状の基本音と倍音を聞くことができます。このプロジェクトは、有限要素解析、スペクトル理論、打楽器の物理学の実用的なデモであり、すべてクライアントサイドでバックエンドなしで動作します。

仕組み

固定されたドラムヘッドの振動は、ディリクレ境界条件を持つヘルムホルツ方程式によって支配されます：形状の内部で−∇²u = λu、境界でu = 0。各解uはモード（定在波）であり、各固有値λは√λに比例する周波数に対応します。ほとんどすべての形状に対して、この問題には閉形式の解がないため、Eigendrumは形状を三角形メッシュに離散化し、有限要素の剛性行列と質量行列を構築し、一般化固有値問題Kφ = λMφを解いて最低次のモードを見つけます。

既知のスペクトルに対する検証

ソルバーは、変更のたびに正確なスペクトルを持つ形状に対してテストされます：円の周波数はベッセル関数の零点であり、長方形の周波数はπ²(m²/a² + n²/b²)です。数値結果はこれらと0.1パーセント未満の誤差で一致します。有限要素法は制限された空間でエネルギーを最小化するため、計算された固有値はわずかに過大評価されることが保証されており、決して過小評価されません。これにより有用な誤差範囲が提供されます。

打撃位置が重要

ドラムの点を打つと、各モードはその点での振幅に比例して励起されます。節線（モードの変位がゼロの線）を打つと、そのモードはまったく励起されません。この動作は、マレットのインパルスをモード形状に射影することから自然に現れます—特別なルールとしてプログラムされたわけではありません。インターフェースは、打撃がどのモードに到達できるか、できないかを示し、個々のモードを単独で再生することもできます。これは物理的なマレットではできないことです。

方程式から作るドラム

フリーハンド描画に加えて、Eigendrumは境界のパラメトリック方程式を受け入れます。例えば、r(t) = 1 + 0.3cos(5t)は五葉の花を描き、パラメトリックなx(t)、y(t)のペアは極座標では到達できないネフロイドや卵形などの形状に到達できます。これにより、形状をテキストとして再現可能にします—URLが数式をエンコードするため、アドレスバーで直接共有および編集できます。メッシュ化が信頼できないほど薄い形状は、誤解を招く結果を返すのではなく拒否されます。

ドラムの形を聞くことはできるか？

マーク・カッツは1966年にこの有名な問題を提起しました。1992年、キャロリン・ゴードン、デビッド・ウェッブ、スコット・ウォルパートは、同一のスペクトルを持つ2つの異なる形状を構築して「いいえ」と答えました。Eigendrumにはこれらが「カッツドラムI」および「カッツドラムII」として含まれています—両方とも同じ7つの三角形を再配置して構築され、同じ面積、周囲長、すべての周波数が一致します。それらを切り替えて、見た目が異なるにもかかわらず同じように聞こえることを確認できます。

モデリングの選択

周波数比、モード形状、基本ピッチは完全に輪郭によって決定されます—それが物理学です。輪郭が固定しないのは波の速度（張力と密度）です。そのため、Eigendrumでは同じ面積の円の基準ピッチを設定できます。各形状はその基準ピッチに対して独自のオフセットで上に位置します。すべての形状は解く前に同じ面積にスケーリングされるため、オフセットはサイズではなく形状に依存します。マレットは調整可能な幅と固定された接触時間でモデル化され、減衰はレイリー減衰であるため、高次の倍音はより速く減衰します—これがドラムが鳴るときに暗くなる理由です。

実装とホスティング

Eigendrumにはビルドステップもアプリケーションバックエンドもありません—メッシュ生成、固有値解法、オーディオ合成はすべてブラウザで実行されます。形状はURLフラグメント（#の後）に存在し、ブラウザはこれをサーバーに送信しません。また、アナリティクスはそれを記録しないように設定されています。サイトはeigendrum.comでホストされており、GitHubリポジトリがソルバーとそのテストを含むソースコードを提供しています。